Дано : ABCD - трапеция,  AD║BC,  AB∦CD,

          ∠1 : ∠2 = 7 : 11;   ∠3 = ∠4

Найти : ∠1, ∠2, ∠3, ∠4

Решение :

Два угла в трапеции могут быть равны либо при основаниях равнобедренной трапеции, либо при боковой стороне прямоугольной трапеции. Если предположить равенство противоположных углов трапеции, то при параллельности двух сторон трапеция превратится в параллелограмм, и углы во второй паре тоже будут равны, что противоречит условию задачи.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию (рис. 1)

  ∠1 = ∠4;   ∠2 = ∠3

  Разную величину могут иметь только углы при разных основаниях. Если  ∠1:∠2 = 7:11, то углы 4 и 3 имеют такое же отношение

∠4 : ∠3 = 7 : 11,   то есть  ∠3 ≠ ∠4, что противоречит условию задачи.

2) Рассмотрим прямоугольную трапецию (рис. 2)

  ∠3 = ∠4 = 90°,  так как  AD║BC,  CD⊥AD,  CD⊥BC

  ∠1 : ∠2 = 7 : 11

 ∠1 + ∠2 = 180°    как углы при боковой стороне трапеции (внутренние односторонние углы при  AD║BC  и секущей  AB)

  7x + 11x = 180°

  18x = 180°       ⇒      x = 10°

  ∠1 = 7x = 7·10° = 70°;     ∠2 = 11x = 11·10° = 110°

Ответ :  70°;   110°;   90°;   90°